[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.1� poprawnie zbudowanymi formułami będą: a) atomiczne formuły bądz zmien-ne zdaniowe, bądz funkcje propozycjonalne, b) poprawnie zbudowane formułypoprzedzone kwantyfikatorem du\ym '" fx , fy , '"( p (" fx ),& ,'"x xy'" '"małym - (" fx , (" fy , ("( p (" fx) ,& , oraz abstraktorem x fx , y fy ,& ,x y xc) formuły utworzone z poprawnie zbudowanych formuł za pomocą funktorówprawdziwościowych (i nawiasów); ustala się, \e kwantyfikator wią\e mocniejni\ ka\dy funktor prawdziwościowy oraz \e zasięg kwantyfikatora rozciągasię do pierwszego dwuargumentowego funktora prawdziwościowego, chyba\e nawiasy stanowią inaczej.2� tezami jednargumentowego rachunku predykatów będą21:a) przyjęte aksjomatycznie tezy rachunku zdań i następujące dwie formuły:'" fx �" fy - prawo implikacji podstawieniowej (nowoczesne ujęciextradycyjnej zasady dictum de omni" - co orzeka się prawdziwieo wszystkich, to równie\ i o niektórych)fy �" (" fx - prawo egzystencjalnej generalizacji,xb) wyniki odpowiedniego stosowania do tez systemu następujących reguł:1) podstawiania (za równokształtne zmienne zdaniowe odpowiednio rów-nokształtnych formuł zdaniowych poprawnie zbudowanych i za wolnezmienne nazwowe innych zmiennych nazwowych, byle \adna dotych-czasowa wolna zmienna nie stała się związaną, a związana wolną),2) odrywania następnika, gdy tezą jest jego poprzednik i cała implikacja,3) dołączania kwantyfikatora du\ego w następniku (o ile poprzednik niezawiera zmiennej takiej, jak przy kwantyfikatorze), a małego w po-przedniku implikacji (o ile w następniku nie ma zmiennej takiej, jakprzy kwantyfikatorze),4) opuszczania kwantyfikatora du\ego w następniku lub małego w po-przedniku implikacji,21Mo\na sprawdzać niektóre poprawnie zbudowane schematy rachunku predykatów zapomocą tzw.diagramów Venna, które będą scharakteryzowane na początku paragrafu poświęconegosylogistyce.301 5) zastępowania schematów odpowiadających jednej stronie podanychni\ej definicji drugą jej stroną:D.1 '" fx =~ (" ~ fxx x22D.2 (" fx =~ '" ~ fxx xNajbardziej typowe prawa rachunku kwantyfikatorów dotyczą ruchu kwanty-fikatorów, ich składania i rozdzielania oraz przemienności kolejności kwanty-fikatorów.Do pierwszej grupy nale\ą np.prawa przesuwania kwantyfikatorasprzed całej implikacji przed poprzednik, o ile następnik jest wyra\eniem nieza-le\nym:'"( fx �" p) a" (" fx �" px x("( fx �" p) '" fx �" px xW drugiej grupie jest np.prawo rozdzielania kwantyfikatora szczegółowegomiędzy człony implikacji:("( fx �" gx) a" '" fx �" (" gxx x xoraz składania du\ego kwantyfikatora sprzed członów alternatywy:'" fx (" '" gx �" '"( fx (" gx)x x xDo trzeciej grupy nale\y np.prawo przestawiania kwantyfikatorów niejednorod-nych (jednorodne wolno zawsze przestawiać):(" '" fxy �" '" (" fxyx y y x22Mo\na więc wyeliminować du\y kwantyfikator za pomocą małego i odwrotnie, lecznale\y poło\yć przed i po kwantyfikatorze negację.Znak równości występujący w obu definicjachtraktowany jest metajęzykowo i wskazuje, \e mo\na zastępować jedną stronę równości przezdrugą.Czasem uwyraznia się ten fakt, pisząc =df".W rachunku kwantyfikatorów budowanyminną metodą, np.zało\eniową, mamy prawa zastępowania kwantyfikatorów: '" fx a"~ (" ~ fxx xoraz (" fx a"~ '" ~ fx , w których występuje funktor równowa\ności.Prawom tym odpowiadająx xnastępujące sformułowania: Ka\dy przedmiot ma daną własność wtedy i tylko wtedy, gdy nieistnieją przedmioty nie mające tej własności.Istnieją przedmioty mające daną własność wtedy itylko wtedy, gdy nie ka\dy przedmiot nie ma tej własności.Analogicznie do praw de Morgana (bokwantyfikator du\y odpowiada koniunkcji, a mały alternatywie) mamy prawa negowaniakwantyfikatorów: '" fx a"~ (" ~ fx i (" fx a"~ '" ~ fxx x x x302 R a c h u n e k z b i o r ó w , czyli formalna teoria działań na zbiorach orazstosunków zachodzących między zbiorami, bywa w logice nadbudowany na ra-chunku zdań i rachunku kwantyfikatorów.Mo\na go jednak potraktować auto-nomicznie (np.jako pewną interpretację algebry Boole'a) lub jako wstępną częśćmatematycznej teorii mnogości
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
